多元微分学考研？
1.偏导数与全微分的定义 2.一阶和二阶偏导数的几何意义，以及偏导数的连续性、可微性、可积性的几何意义（见下图） \varphi(x，y) 在区域 D\subseteq R^n 中连续，则其梯度 \nabla \varphi 的方向导数在 D 的任意边界点上存在且等于该点处切平面的法向量与外法矢量的夹角；当 \varphi 在 D 内可微时，它的梯度在每个光滑点处的切平面垂直于该点的切方向。
3.偏导数及全微分的关系（见下图） f 有连续的一阶偏导数意味着对任意的 z_0\in D，在 B(z_0，r)\cap D 中成立。这等价于对每个 x\in U_0：=f^{-1}(U)(U是D的子集 )都存在一个开球 B(a(x)，\epsilon)\subset U， a(x)\in D ，使得 \frac{\partial}{\partial y}f(x，\cdot)|_{B(a(x)，\epsilon)} 是连续的。这个结果告诉我们，如果 f 在 D 上有一阶连续偏导数那么它在每一点都有一个局部参数方程，或者说，它可以在每一点局部地展开成泰勒级数。
4.复合函数的偏导数和全微分的关系（见下图） 如果 g 是一维函数且在 D 上一致连续，那么复合函数 f\circ g 在 D 上一致连续，这意味着对于任意的 r>0 和任意 \varepsilon>0，总存在 N_{\varepsilon}\geqslant 1 使得当 n>N_{\varepsilon} 时成立 |f(\gamma(t))-f(\beta(t))|<\varepsilon，\quad t\in[0，1] 其中 (\gamma，\beta)： [0，1]\times [0，1]\to D 根据定义可知，如果 f 在 D 上一致连续，那么它处处有全微分。
5.全微分存在的充要条件（见下图） 当 g 是一维函数且在 D 上一致的连续时，复合函数 f\circ g 全微分存在的充要条件为 \left|\frac{\partial g}{\partial u}-\frac{\partial h}{\partial w}\right||u-w|\leqslant C，\\ 其中 C 为常数，且 h=f\circ g+L(u，w)， L：\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}， 对于 m=dimE，\ p=dimF 这个条件很容易证明。
6.隐函数存在全微分时的必要条件 设 \xi：D\to E ， \eta：D\to F 有连续偏导数且 Df，g：\xi_i，\eta_j：j，i=1，\cdots，k 在 D 的每一点都存在，而 k=rank\ Jf=rank\ Jg 这表明它们都是线性映射。由 \textbf{Cox Vakil Theorem of Linearity }可得，\xi 和\eta 都是线性的。
7.全微分在初等应用中的几个例子 （1）求极值时全微分的定义 （2）求导公式中出现的全微分 （3）关于积分中值定理的一个推广形式 以上。